Quién iba a decir que un simple triángulo equilátero tenía en su interior tanto potencial matemático. Puede que cuando escuches la palabra “geometría”, inmediatamente te venga a la mente esa clase aburrida en la que contabas los minutos para que sonara el timbre. Pero hoy vamos a hacer un recorrido diferente por este fascinante mundo lleno de teoremas, paralelogramos y un toque de papiroflexia. ¿Listo? ¡Empecemos!

Entendiendo el teorema de Viviani

Imaginemos un triángulo equilátero, que, para no complicarnos, llamaremos ABC. Este triángulo tiene un lado que mide exactamente 1 unidad, y dentro de él colocamos un punto cualquiera, al que llamaremos P. Ahora, si trazamos líneas desde P hasta cada uno de los vértices del triángulo, y medimos la distancia desde P a cada uno de los lados, obtendremos tres distancias que llamaremos m, n y l.

Pero aquí viene lo interesante. Las áreas de los triángulos que se forman (que son PAB, PAC y PBC) se pueden expresar de la siguiente manera:
– Área de PAB = m/2
– Área de PAC = n/2
– Área de PBC = l/2

Sumando estas áreas obtenemos algo asombroso:
– Área total = (m + n + l) / 2

Y si también calculamos la altura del triángulo ABC (a la que podemos llamar h), nos damos cuenta de otra cosa importante: el área total de ABC se puede expresar también como h/2. Por lo tanto, si h = m + n + l, esto confirma el teorema de Viviani, que dice que la suma de las distancias de un punto interior a los lados de un triángulo es igual a la altura del triángulo multiplicada por la base.

¿Verdad que no es tan aburrido como parecía? Con un poco de práctica y curiosidad, cualquier cosa puede volverse fascinante.

El misterioso paralelogramo de Varignon

Después de darnos una vuelta por el triángulo de Viviani, nos encontramos de frente con otro concepto intrigante: el teorema de Varignon, que hace alarde de simplicidad y elegancia. Imaginemos que tenemos un cuadrilátero, a lo que llamaremos ABCD. Si marcamos los puntos medios de sus lados (vamos a llamarlos E, F, G y H), estos puntos formarán un nuevo cuadrilátero que llamaremos EFGH.

La demostración del paralelogramo de Varignon es tan sencilla que podría caber en una línea (y sin embargo, eso no hace menos poderosa su esencia matemática). Si consideramos que todos los segmentos son vectores, llegamos a la conclusión de que HG = EF. Así, podemos observar que, a partir de un cuadrilátero, se forma un paralelogramo cuya área es la mitad del área del cuadrilátero inicial. ¡Increíble, verdad!?

La próxima vez que hagas un dibujo de un cuadrilátero, no olvides despejar un poco de espacio en tu mente para el paralelogramo que se esconde en él. Es como esos amigos que parecen ser más sencillos de lo que realmente son, y ¡que al final sorprenden con su profundidad!

Una dosis de papiroflexia: el arte de doblar

Ahora, dejemos un poco de lado los teoremas y centrémonos en una relación entre geometría y papiroflexia. Tal vez, si te gustan las manualidades, reconocerás la belleza que se puede encontrar en un simple papel. Pero, ¿sabías que puedes dividir un cuadrado en cinco cuadrados iguales solo utilizando una regla? Y si te atreves a usar la papiroflexia, puedes hacerlo sin ninguna herramienta adicional.

Te presento el primer teorema de Haga, que dice que si tomas un cuadrado de vértices A, B, C y D y pliegas el cuadrado llevándolo sobre sí mismo, con el vértice A en el punto medio del lado BC, entonces el lado AD cortará al lado CD en un punto G. Lo interesante es que la distancia entre C y G será igual a las dos terceras partes del lado del cuadrado. ¡Es un juego de magia matemática!

Y ahora la pregunta que todos tenemos en la mente: ¿cuántos de ustedes pueden recordar cómo hacer una pajarita de papel? Lo que parece ser un simple ejercicio de manualidades, en realidad es una prueba de memoria visual y de la creatividad que puede desatar la geometría. A veces, la conexión entre lo práctico y lo teórico nos muestra que, como en la vida misma, lo sencillo puede ser profundamente complejo.

Reflexionando sobre la geometría en la vida cotidiana

Habiendo compartido todo esto, no puedo evitar reflexionar sobre la relación que tenemos con la geometría en nuestro día a día. Pero, seamos honestos: ¿quién se ha sentido abrumado por la cantidad de fórmulas y teoremas que parecen no tener sentido en la vida real? Sin embargo, lo maravilloso de la geometría es que está presente en todo lo que hacemos, desde el diseño de un edificio hasta la manera en que organizamos los muebles de nuestro hogar.

Por ejemplo, pienso en el momento en que decidí reorganizar mi habitación, y me encontré en una batalla con el espacio. «¿Dónde va este mueble?» «¿Caberá en la esquina, o me he dejado llevar por el entusiasmo?» Esa lucha interna es, en muchas formas, una forma de geometría aplicada. Nos enseña a observar y entender relaciones, distancias y espacios. Sin mencionar que, cuando encuentras el diseño perfecto, sientes que has triunfado en un examen de matemáticas. ¿Te ha pasado?

La geometría en el arte y la tecnología

Como ya mencioné, la geometría no solo se encuentra en el mundo académico, sino que también está presente en el arte, el diseño y la tecnología. Piensa en esa escultura que observaste en el museo, donde cada ángulo y curva parecen estar calculados a la perfección. O en el diseño de esa aplicación que tanto te gusta, donde la disposición de los botones y ventanas ha sido meticulosamente pensada para que la navegación sea intuitiva. La combinación de matemática y creatividad es algo que nunca deja de sorprenderme.

Hoy en día, hasta los videojuegos utilizan conceptos geométricos complejos para crear mundos inmersivos. Piensa en la última vez que jugaste un juego de rol y te quedaste maravillado por la forma en que se construyó el entorno. La geometría, acompañada de un poco de programación, puede dar vida a entornos virtuales tan complejos y variados que es como si te dejaran entrar en un nuevo universo.

Aprendiendo y disfrutando de la geometría

A lo largo de este viaje a través de la geometría, me ha sorprendido lo que puede ofrecer este campo. Desde la pura elegancia de teoremas como los de Viviani y Varignon, hasta la creatividad de la papiroflexia, donde el papel se transforma en arte, la geometría nos cuenta historias que a veces pasan desapercibidas.

Entonces, para finalizar, me gustaría incentivarte: ¿por qué no explorar más sobre geometría? Te animo a hacer un pequeño experimento, ya sea:

  • Dibujar tu propio triángulo y explorar los teoremas que lo acompañan.
  • Crear una pajarita de papel (¡o varias!) y ver cuántas formas puedes hacer.
  • Jugar con algún software de diseño que use geometría y observe cómo puedes transformar lo abstracto en algo tangible.

Así que la próxima vez que veas un triángulo, un cuadrado o simplemente observes la disposición de tu entorno, recuerda que detrás de cada forma hay un sinfín de propiedades, teoremas y, sobre todo, un mundo de posibilidades e inspiración esperando ser descubierta.

¡Y eso es todo, amigos! Espero que este viaje por la geometría te haya dejado un poco más curioso y, quizás, con ganas de explorar más sobre este elegante y a menudo malentendido campo. ¿Te atreves a dar el próximo paso? 🤔